Численные методы

Содержание дисциплины

1. Вводная лекция.
   • Роль численных методов в решении задач обработки радиолокационной информации, место дисциплины в учебном процессе, структура дисциплины, перечень тем, изучаемых в дисциплине, обзор литературы и методических рекомендаций по изучению дисциплины;
2. Теория погрешностей.
   • Погрешность, ее типы. Значащие цифры и верные знаки. Погрешность арифметических операций. Выполнение вычислений в верных знаках. Прямая и обратная задачи теории погрешностей;
3. Приближенные вычисления некоторых функций.
   • Схема Горнера для вычисления значений полинома. Определение границ действительных корней полинома. Использование метода итераций для вычисления значений функций;
4. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
   • Отделение корней. Решение уравнений методом половинного деления. Оценка точности.
   • Решение уравнений методом хорд. Условия сходимости процесса. Оценка точности полученного решения.
   • Решение уравнений методом касательных. Условия сходимости метода. Оценка погрешности n-ого приближения.
   • Решение уравнений комбинированным методом. Сравнение рассмотренных методов. Их геометрическая интерпретация.
   • Решение уравнений методом итераций. Вопросы сходимости метода. Оценка точности решения;
5. Решение систем линейных уравнений.
   • Основные понятия линейной алгебры. Операции над матрицами.
   • Точные методы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Метод Халецкого. Особенности применения точных методов при решении систем линейных уравнений. Использование метода Гаусса для вычисления определителей и обратных матриц.
   • Решение систем линейных уравнений большой размерности методом итерации. Приведение системы.
   • Решение систем линейных уравнений методом Зейделя. Его отличие от метода итераций.
   • Достаточные условия сходимости итерационных методов. Оценка погрешности приближений.
6. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений.
   • Обзор методов решения систем нелинейных уравнений.
   • Метод Ньютона. Матрица Якоби. Вывод формулы итерационного процесса.
   • Теорема о существовании корней и сходимости процесса.
   • Модифицированный метод Ньютона. Его преимущества перед методом Ньютона. Сходимость модифицированного процесса Ньютона.
   • Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. Приведенный вид системы. Построение итерационных процессов.
   • Градиентный метод решения систем нелинейных уравнений. Понятие градиента. Вывод формулы итерационного процесса. Демонстрация работы метода на примерах.
   • Вопросы сходимости итерационных методов решения систем нелинейных уравнений. Понятие сжимающего отображения. Теоремы о существовании единственного решения системы. Оценки точности. Достаточное условие сходимости процесса итерации.

Литература

Основная литература

1. Демидович и Марон. Основы вычислительной математики.
2. Безикович. Приближенные вычисления.
3. Канторович и Крылов. Приближенные методы высшего анализа.
4. Бахвалов. Численные методы.
5. Хемминг. Численные методы. Для научных работников и инженеров
6. Фихтенгольц. Основы математического анализа
7. Фихтенгольц. Математика для инженеров.