Направление «Прикладная математика и информатика»

Кафедра программного обеспечения систем радиоэлектронной аппаратуры
при АО «Концерн «Вега»

Московский технологический
университет


Институт кибернетики

 

Численные методы

Содержание дисциплины

  1. Вводная лекция.
    • Роль численных методов в решении задач обработки радиолокационной информации, место дисциплины в учебном процессе, структура дисциплины, перечень тем, изучаемых в дисциплине, обзор литературы и методических рекомендаций по изучению дисциплины;
  2. Теория погрешностей.
    • Погрешность, ее типы. Значащие цифры и верные знаки. Погрешность арифметических операций. Выполнение вычислений в верных знаках. Прямая и обратная задачи теории погрешностей;
  3. Приближенные вычисления некоторых функций.
    • Схема Горнера для вычисления значений полинома. Определение границ действительных корней полинома. Использование метода итераций для вычисления значений функций;
  4. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
    • Отделение корней. Решение уравнений методом половинного деления. Оценка точности.
    • Решение уравнений методом хорд. Условия сходимости процесса. Оценка точности полученного решения.
    • Решение уравнений методом касательных. Условия сходимости метода. Оценка погрешности n-ого приближения.
    • Решение уравнений комбинированным методом. Сравнение рассмотренных методов. Их геометрическая интерпретация.
    • Решение уравнений методом итераций. Вопросы сходимости метода. Оценка точности решения;
  5. Решение систем линейных уравнений.
    • Основные понятия линейной алгебры. Операции над матрицами.
    • Точные методы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Метод Халецкого. Особенности применения точных методов при решении систем линейных уравнений. Использование метода Гаусса для вычисления определителей и обратных матриц.
    • Решение систем линейных уравнений большой размерности методом итерации. Приведение системы.
    • Решение систем линейных уравнений методом Зейделя. Его отличие от метода итераций.
    • Достаточные условия сходимости итерационных методов. Оценка погрешности приближений.
  6. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений.
    • Обзор методов решения систем нелинейных уравнений.
    • Метод Ньютона. Матрица Якоби. Вывод формулы итерационного процесса.
    • Теорема о существовании корней и сходимости процесса.
    • Модифицированный метод Ньютона. Его преимущества перед методом Ньютона. Сходимость модифицированного процесса Ньютона.
    • Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. Приведенный вид системы. Построение итерационных процессов.
    • Градиентный метод решения систем нелинейных уравнений. Понятие градиента. Вывод формулы итерационного процесса. Демонстрация работы метода на примерах.
    • Вопросы сходимости итерационных методов решения систем нелинейных уравнений. Понятие сжимающего отображения. Теоремы о существовании единственного решения системы. Оценки точности. Достаточное условие сходимости процесса итерации.

Литература

Основная литература

  1. Демидович и Марон. Основы вычислительной математики.
  2. Безикович. Приближенные вычисления.
  3. Канторович и Крылов. Приближенные методы высшего анализа.
  4. Бахвалов. Численные методы.
  5. Хемминг. Численные методы. Для научных работников и инженеров
  6. Фихтенгольц. Основы математического анализа
  7. Фихтенгольц. Математика для инженеров.
МОСКВА 2017